5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複を許して使ってできる自然数について、以下の個数を求める問題です。 (1) 3桁の数 (2) 3桁の偶数 (3) 123より小さい数

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を重複を許して使ってできる自然数について、以下の個数を求める問題です。

(1) 3桁の数

(2) 3桁の偶数

(3) 123より小さい数

2. 解き方の手順

(1) 3桁の数

3桁の数は、百の位が0であってはいけないので、百の位は1,2,3,4のいずれかです。十の位と一の位は0,1,2,3,4のいずれでも良いです。

したがって、3桁の数の個数は、$4 \times 5 \times 5 = 100$個です。

(2) 3桁の偶数

3桁の偶数は、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要があります。

百の位が0であってはいけないので、百の位は1, 2, 3, 4のいずれかです。十の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いです。

場合分けして考えます。

(i) 一の位が0の場合: 百の位は1, 2, 3, 4のいずれかで、十の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれかなので、$4 \times 5 = 20$個

(ii) 一の位が2または4の場合: 百の位は0を除いた1, 2, 3, 4のいずれかですが、一の位に2または4を使うので、百の位が2または4のときと、そうでない時で場合分けします。

百の位が2または4の場合、2通り。十の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれか。一の位は百の位で選ばなかったもの。

百の位が2または4でない場合、2通り。十の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれか。一の位は2または4。

百の位が2または4の場合、$2 \times 5 = 10$

百の位が1または3の場合、$2 \times 5 \times 2 = 20$

一の位が2または4の場合は、$2 \times 5 \times 3=30$

合計は$30 + 20 = 50$

(3) 123より小さい数

1桁の数は1, 2, 3, 4の4個。

2桁の数は十の位は0であってはいけないので、十の位は1, 2, 3, 4のいずれか。一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれか。したがって、$4 \times 5 = 20$個。

3桁の数で、123より小さい数を考えます。

百の位が0であってはいけないので、百の位が1である必要があります。

百の位が1の場合、十の位が0, 1, 2のいずれかです。

- 十の位が0の場合、一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれかです。5個。

- 十の位が1の場合、一の位は0, 1, 2, 3, 4のいずれかです。5個。

- 十の位が2の場合、一の位は0, 1, 2のいずれかです。3個。

よって、3桁の数は$5 + 5 + 3 = 13$個。

合計は、$4 + 20 + 13 = 37$個。

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 50個

(3) 37個