画像には平方根に関する複数の問題が含まれています。具体的には、平方根の計算、近似値の計算、式の値の計算、そして平方根の利用に関する問題があります。

1. 問題の内容

画像には平方根に関する複数の問題が含まれています。具体的には、平方根の計算、近似値の計算、式の値の計算、そして平方根の利用に関する問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 平方根の基本

1. 144の平方根は$\pm 12$

2. 0.81の平方根は$\pm 0.9$

3. 13の平方根は$\pm \sqrt{13}$

(2) 根号の中をできるだけ小さい自然数にする

1. $\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$

2. $-\sqrt{216} = -\sqrt{36 \times 6} = -6\sqrt{6}$

3. $\sqrt{\frac{125}{16}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{25 \times 5}}{4} = \frac{5\sqrt{5}}{4}$

(3) 数の大小を不等号で表す

1. $5 = \sqrt{25}$、 $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{28}$ よって $5 < 2\sqrt{7}$

2. $-\sqrt{14} > -\sqrt{17}$（負の数は絶対値が大きいほど小さい）

3. $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ , $\frac{\sqrt{3}}{3} > \frac{\sqrt{3}}{6}$ よって $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$

(4) 根号を含む式の計算

1. $\sqrt{38} \times \sqrt{2} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$

2. $(-\sqrt{3}) \div \sqrt{27} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9 \times 3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$

3. $4\sqrt{11} + 9\sqrt{11} = 13\sqrt{11}$

4. $\sqrt{90} - \sqrt{640} = \sqrt{9 \times 10} - \sqrt{64 \times 10} = 3\sqrt{10} - 8\sqrt{10} = -5\sqrt{10}$

5. $\sqrt{180} + 7\sqrt{5} - \sqrt{80} = \sqrt{36 \times 5} + 7\sqrt{5} - \sqrt{16 \times 5} = 6\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$

6. $6\sqrt{2} + \frac{48}{\sqrt{6}} - 5\sqrt{6} - \sqrt{8} = 6\sqrt{2} + \frac{48\sqrt{6}}{6} - 5\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 8\sqrt{6} - 5\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$

7. $(3+\sqrt{3})^2 + \sqrt{12}(5-\sqrt{3}) = (9 + 6\sqrt{3} + 3) + 2\sqrt{3}(5-\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 6 = 6 + 16\sqrt{3}$

8. $(15-2\sqrt{5}) \div \sqrt{5} - (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-4) = \frac{15}{\sqrt{5}} - 2 - (5 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 8) = 3\sqrt{5} - 2 - (-3 - 2\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 2 + 3 + 2\sqrt{5} = 1 + 5\sqrt{5}$

(5) 近似値、式の値

1. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} = 6 \times 1.414 = 8.484$

2. $\sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} = 20 \times 1.414 = 28.28$

3. $\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} = 4 \times 1.414 = 5.656$

4. $x = 4+\sqrt{7}$, $y = 4-\sqrt{7}$のとき

1. $xy - 4x = (4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) - 4(4+\sqrt{7}) = 16 - 7 - 16 - 4\sqrt{7} = -7 - 4\sqrt{7}$

2. $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (4+\sqrt{7} + 4 - \sqrt{7})(4+\sqrt{7} - (4-\sqrt{7})) = (8)(2\sqrt{7}) = 16\sqrt{7}$

3. $2x^2 - 4xy + 2y^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2) = 2(x-y)^2 = 2(4+\sqrt{7} - (4-\sqrt{7}))^2 = 2(2\sqrt{7})^2 = 2(4 \times 7) = 56$

(6) 平方根の利用

正四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。

底面積を $A$ とすると、$69 = \frac{1}{3} \times A \times 9$。

これから、$A = \frac{69 \times 3}{9} = 23$。

底面は正方形なので、1辺の長さを $s$ とすると、$s^2 = 23$。

よって、$s = \sqrt{23}$。

3. 最終的な答え

(1) 平方根の基本

1. $\pm 12$

2. $\pm 0.9$

3. $\pm \sqrt{13}$

(2) 根号の中をできるだけ小さい自然数にする

1. $2\sqrt{15}$

2. $-6\sqrt{6}$

3. $\frac{5\sqrt{5}}{4}$

(3) 数の大小を不等号で表す

1. $5 < 2\sqrt{7}$

2. $-\sqrt{14} > -\sqrt{17}$

3. $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$

(4) 根号を含む式の計算

1. $2\sqrt{19}$

2. $-\frac{1}{3}$

3. $13\sqrt{11}$

4. $-5\sqrt{10}$

5. $9\sqrt{5}$

6. $4\sqrt{2} + 3\sqrt{6}$

7. $6 + 16\sqrt{3}$

8. $1 + 5\sqrt{5}$

(5) 近似値、式の値

1. 8.484

2. 28.28

3. 5.656

4.

1. $-7 - 4\sqrt{7}$

2. $16\sqrt{7}$

3. 56

(6) 平方根の利用

$\sqrt{23}$ cm