(1) $k > 0$ は定数とします。ある放射性物質の時刻 $t$ における質量 $x = x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$, $x(0) > 0$ に従って変化しているとします。この物質の半減期を $T$ とします。このとき、$\frac{x(T_1)}{x(0)} = \frac{1}{32}$ を満たす $T_1$ に対して、$\frac{T_1}{T}$ を求めよ。 (2) 微分方程式 $y'(x) = -3y(x) + 18$, $y(0) = 0$ の解を求めよ。 (3) 関数 $y = 5(1 - e^{-3x})$ のグラフを漸近線と共に書け。 (グラフを描くことはここでは省略します。) (4) $a$ を定数とする。何回でも微分可能な関数 $x(t)$ は全ての $t$ に対して $x'(t) = at + 14$ を満たし、$x(0) = -5$, $x(2) = -2$ である。$a$ の値を求めよ。 (5) $x > 0$ において $F'(x) = \frac{5}{x}$, $F(e^2) = 0$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $k > 0$ は定数とします。ある放射性物質の時刻 $t$ における質量 $x = x(t)$ が微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$, $x(0) > 0$ に従って変化しているとします。この物質の半減期を $T$ とします。このとき、$\frac{x(T_1)}{x(0)} = \frac{1}{32}$ を満たす $T_1$ に対して、$\frac{T_1}{T}$ を求めよ。

(2) 微分方程式 $y'(x) = -3y(x) + 18$, $y(0) = 0$ の解を求めよ。

(3) 関数 $y = 5(1 - e^{-3x})$ のグラフを漸近線と共に書け。 (グラフを描くことはここでは省略します。)

(4) $a$ を定数とする。何回でも微分可能な関数 $x(t)$ は全ての $t$ に対して $x'(t) = at + 14$ を満たし、$x(0) = -5$, $x(2) = -2$ である。$a$ の値を求めよ。

(5) $x > 0$ において $F'(x) = \frac{5}{x}$, $F(e^2) = 0$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 微分方程式 $\frac{dx}{dt} = -kx$ を解きます。これは変数分離形の微分方程式なので、$\frac{dx}{x} = -k dt$ と変形できます。

* 両辺を積分すると、$\int \frac{dx}{x} = \int -k dt$ より、$\ln|x| = -kt + C$ となります。

* $x(t) > 0$ であることを考慮すると、$x(t) = e^{-kt + C} = e^C e^{-kt} = A e^{-kt}$ となります。ここで、$A = e^C$ は定数です。

* 初期条件 $x(0) > 0$ より、$x(0) = A e^0 = A$ となります。したがって、$x(t) = x(0) e^{-kt}$ となります。

* 半減期の定義より、$x(T) = \frac{1}{2} x(0)$ なので、$\frac{1}{2} x(0) = x(0) e^{-kT}$。よって、$\frac{1}{2} = e^{-kT}$。両辺の自然対数を取ると、$\ln(\frac{1}{2}) = -kT$。したがって、$kT = \ln 2$、$T = \frac{\ln 2}{k}$ となります。

* $\frac{x(T_1)}{x(0)} = \frac{1}{32}$ より、$x(T_1) = \frac{1}{32} x(0)$ なので、$\frac{1}{32} x(0) = x(0) e^{-kT_1}$。よって、$\frac{1}{32} = e^{-kT_1}$。両辺の自然対数を取ると、$\ln(\frac{1}{32}) = -kT_1$。したがって、$kT_1 = \ln 32 = \ln (2^5) = 5 \ln 2$。$T_1 = \frac{5 \ln 2}{k}$ となります。

* $\frac{T_1}{T} = \frac{\frac{5 \ln 2}{k}}{\frac{\ln 2}{k}} = 5$

(2)

* 微分方程式 $y'(x) = -3y(x) + 18$ は、変数分離形、または1階線形微分方程式として解くことができます。ここでは1階線形微分方程式として解きます。$y'(x) + 3y(x) = 18$

* 積分因子は $e^{\int 3 dx} = e^{3x}$

* $e^{3x}y'(x) + 3e^{3x}y(x) = 18e^{3x}$

* $\frac{d}{dx}(e^{3x}y(x)) = 18e^{3x}$

* $e^{3x}y(x) = \int 18e^{3x}dx = 6e^{3x} + C$

* $y(x) = 6 + Ce^{-3x}$

* 初期条件 $y(0) = 0$ より、$0 = 6 + Ce^0 = 6 + C$。よって、$C = -6$。

* $y(x) = 6 - 6e^{-3x} = 6(1 - e^{-3x})$

(4)

* $x'(t) = at + 14$ を積分すると、$x(t) = \int (at + 14) dt = \frac{1}{2}at^2 + 14t + C$ となります。

* 初期条件 $x(0) = -5$ より、$x(0) = \frac{1}{2}a(0)^2 + 14(0) + C = C = -5$。よって、$x(t) = \frac{1}{2}at^2 + 14t - 5$ となります。

* $x(2) = -2$ より、$x(2) = \frac{1}{2}a(2)^2 + 14(2) - 5 = 2a + 28 - 5 = 2a + 23 = -2$。したがって、$2a = -25$、$a = -\frac{25}{2}$ となります。

(5)

* $F'(x) = \frac{5}{x}$ を積分すると、$F(x) = \int \frac{5}{x} dx = 5 \ln|x| + C$ となります。$x > 0$ より、$F(x) = 5 \ln x + C$ となります。

* $F(e^2) = 0$ より、$F(e^2) = 5 \ln(e^2) + C = 5(2) + C = 10 + C = 0$。したがって、$C = -10$。

* $F(x) = 5 \ln x - 10 = 5(\ln x - 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{T_1}{T} = 5$

(2) $y(x) = 6(1 - e^{-3x})$

(4) $a = -\frac{25}{2}$

(5) $F(x) = 5(\ln x - 2)$