$z = \frac{x-y}{x+y}$ の $x=1$, $y=1$ における接平面の方程式を求めます。

## 問題3

1. 問題の内容

$z = \frac{x-y}{x+y}$ の $x=1$, $y=1$ における接平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $z=f(x, y) = \frac{x-y}{x+y}$ の偏微分を計算します。

$f_x = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$

$f_y = \frac{-(x+y) - (x-y)}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

次に、$x=1$, $y=1$ における $f_x$ と $f_y$ の値を計算します。

$f_x(1, 1) = \frac{2(1)}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$f_y(1, 1) = \frac{-2(1)}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

また、$f(1, 1) = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$

接平面の方程式は次のようになります。

$z - f(1, 1) = f_x(1, 1)(x - 1) + f_y(1, 1)(y - 1)$

$z - 0 = \frac{1}{2}(x - 1) - \frac{1}{2}(y - 1)$

$z = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}$

$z = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y$

3. 最終的な答え

$z = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y$