関数 $y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、第一導関数と第二導関数を求めます。

$y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$

第一導関数 $y'$ を求める:

$y' = \frac{3}{2}(\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}})$

$y' = \frac{1}{2}(e^{\frac{x}{3}} - e^{-\frac{x}{3}})$

第二導関数 $y''$ を求める:

$y'' = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}} + \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}})$

$y'' = \frac{1}{6}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$

変曲点は $y'' = 0$ となる $x$ の値で起こり得ます。しかし、

$e^{\frac{x}{3}} > 0$ かつ $e^{-\frac{x}{3}} > 0$

であるため、$e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}} > 0$ であり、$y'' = 0$ となる $x$ は存在しません。

次に、凹凸を調べます。

$y'' = \frac{1}{6}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$ は常に正の値をとるため、関数 $y$ は常に下に凸です。

変曲点が存在しないため、変曲点はありません。

3. 最終的な答え

関数 $y$ は常に下に凸であり、変曲点はありません。