与えられた3つの数列の一般項について、$n$が無限大に近づくときの極限を求める問題です。 (ア) $n^3 - 100n^2$ (イ) $\frac{3n^2 + 2n}{5n^2 + 1}$ (ウ) $\frac{3n^3 - 5n}{(2n-1)(n+2)}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の一般項について、$n$が無限大に近づくときの極限を求める問題です。

(ア) $n^3 - 100n^2$

(イ) $\frac{3n^2 + 2n}{5n^2 + 1}$

(ウ) $\frac{3n^3 - 5n}{(2n-1)(n+2)}$

2. 解き方の手順

(ア) $n^3 - 100n^2$ の場合：

$n^3$でくくり出すと、 $n^3(1 - \frac{100}{n})$となります。

$n$が無限大に近づくと、$\frac{100}{n}$は0に近づくので、$1 - \frac{100}{n}$は1に近づきます。

$n^3$は無限大に発散するので、$n^3(1 - \frac{100}{n})$も無限大に発散します。

(イ) $\frac{3n^2 + 2n}{5n^2 + 1}$ の場合：

分子と分母を$n^2$で割ると、 $\frac{3 + \frac{2}{n}}{5 + \frac{1}{n^2}}$となります。

$n$が無限大に近づくと、$\frac{2}{n}$と$\frac{1}{n^2}$は0に近づくので、

$\frac{3 + \frac{2}{n}}{5 + \frac{1}{n^2}}$は$\frac{3}{5}$に近づきます。

(ウ) $\frac{3n^3 - 5n}{(2n-1)(n+2)}$ の場合：

分母を展開すると、 $\frac{3n^3 - 5n}{2n^2 + 4n - n - 2} = \frac{3n^3 - 5n}{2n^2 + 3n - 2}$となります。

分子と分母を$n^2$で割ると、$\frac{3n - \frac{5}{n}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^2}}$となります。

$n$が無限大に近づくと、$\frac{5}{n}$、$\frac{3}{n}$、$\frac{2}{n^2}$は0に近づくので、$\frac{3n - \frac{5}{n}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^2}}$は$\frac{3n}{2}$に近づきます。

$n$が無限大に近づくので、$\frac{3n}{2}$も無限大に発散します。

3. 最終的な答え

(ア) 発散（無限大）

(イ) $\frac{3}{5}$

(ウ) 発散（無限大）