2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めよ。ただし、$y = -x + a$ の形である。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めよ。ただし、$y = -x + a$ の形である。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$C_1$ に接する直線を考える。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、$C_1$ 上の点 $(t, t^2+2t+4)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x + 2$ より、傾きは $2t+2$ なので、

$y - (t^2+2t+4) = (2t+2)(x-t)$

$y = (2t+2)x - 2t^2 - 2t + t^2 + 2t + 4$

$y = (2t+2)x - t^2 + 4$

これが $y = -x + a$ と一致するので、

$2t+2 = -1$ より、$2t = -3$, $t = -\frac{3}{2}$.

$-t^2 + 4 = a$ より、$a = - (-\frac{3}{2})^2 + 4 = -\frac{9}{4} + 4 = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.

よって、$l$ の方程式は、$y = -x + \frac{7}{4}$。

次に、$C_2$ に接する直線を考える。接点の $x$ 座標を $s$ とすると、$C_2$ 上の点 $(s, s^2-2s+2)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x - 2$ より、傾きは $2s-2$ なので、

$y - (s^2-2s+2) = (2s-2)(x-s)$

$y = (2s-2)x - 2s^2 + 2s + s^2 - 2s + 2$

$y = (2s-2)x - s^2 + 2$

これが $y = -x + a$ と一致するので、

$2s-2 = -1$ より、$2s = 1$, $s = \frac{1}{2}$.

$-s^2 + 2 = a$ より、$a = - (\frac{1}{2})^2 + 2 = -\frac{1}{4} + 2 = \frac{8-1}{4} = \frac{7}{4}$.

よって、$l$ の方程式は、$y = -x + \frac{7}{4}$。

したがって、求める直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$.

(2)

$C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$C_1$ と $C_2$ の $x$ 座標の範囲は $-\frac{3}{2}$ から $\frac{1}{2}$ であるから、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 2 - (-x + \frac{7}{4})) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (C_1 - l) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (C_2 - l) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (C_1 - C_2) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (x^2 - 2x + 2)) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x + 2) dx$

$S = [2x^2 + 2x]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} = (2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{2})) - (2(\frac{9}{4}) + 2(-\frac{3}{2}))$

$S = (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{9}{2} - 3) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$

この計算では面積は0になってしまった。

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1 - l - (C_2 - l)| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1 - C_2 | dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |x^2 + 2x + 4 - x^2 + 2x - 2| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2|dx$

$4x+2 = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$ なので、積分区間を分ける。

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x-2) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x+2) dx$

$S = [-2x^2 - 2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2 + 2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$S = (-2\frac{1}{4} + 1) - (-2\frac{9}{4} + 3) + (2\frac{1}{4} + 1) - (2\frac{1}{4} - 1)$

$S = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{9}{2} - 3 + \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2} -1 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} -1 = \frac{9}{2} = \frac{9}{4} \times 2 = 4.5$

$S = \frac{9}{4} = 2.25$

よって面積は$\frac{9}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{9}{4}$