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$\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}x$ と $\lim_{x \to -\infty} \tan^{-1}x$ の値を求める問題です。

解析学極限逆三角関数arctan解析
2025/8/9

1. 問題の内容

lim⁡x→∞tan⁡−1x\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}x と lim⁡x→−∞tan⁡−1x\lim_{x \to -\infty} \tan^{-1}x の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

tan⁡−1x\tan^{-1}xは、逆正接関数（arctan）を表します。これは、y=tan⁡−1xy = \tan^{-1}x が x=tan⁡yx = \tan y と同等であることを意味します。ここで、yy は (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) の範囲にあります。
まず、lim⁡x→∞tan⁡−1x\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}x を考えます。xx が無限大に近づくと、tan⁡y\tan y が無限大に近づくような yy の値を考えます。tan⁡y\tan y が無限大になるのは、yy が π2\frac{\pi}{2} に近づくときです。
次に、lim⁡x→−∞tan⁡−1x\lim_{x \to -\infty} \tan^{-1}x を考えます。xx が負の無限大に近づくと、tan⁡y\tan y が負の無限大に近づくような yy の値を考えます。tan⁡y\tan y が負の無限大になるのは、yy が −π2-\frac{\pi}{2} に近づくときです。

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞tan⁡−1x=π2\lim_{x \to \infty} \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→−∞tan⁡−1x=−π2\lim_{x \to -\infty} \tan^{-1}x = -\frac{\pi}{2}

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