関数 $y = e^{-x^2}$ の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x^2}$ の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数の凹凸を調べるには、2階微分を計算し、その符号を調べます。変曲点は2階微分が0になる点、または2階微分が存在しない点です。

(1) まず、1階微分を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x^2})$

合成関数の微分を使って計算します。

$y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

(2) 次に、2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2xe^{-x^2})$

積の微分を使って計算します。

$y'' = -2(e^{-x^2} + x(-2xe^{-x^2})) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2)$

(3) 2階微分が0になる点を求めます。

$y'' = 0$ より、$e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 0$

$e^{-x^2} > 0$ なので、$4x^2 - 2 = 0$ を解きます。

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) 凹凸を調べます。$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2 - 2 > 0$ より $y'' > 0$ であり、下に凸です。$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2 - 2 < 0$ より $y'' < 0$ であり、上に凸です。$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2 - 2 > 0$ より $y'' > 0$ であり、下に凸です。

(5) 変曲点を求めます。$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ の前後で2階微分の符号が変わるので、これらの点は変曲点です。それぞれの $x$ に対する $y$ の値を計算します。

$y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = e^{-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = e^{-\frac{1}{2}}$

$y\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = e^{-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = e^{-\frac{1}{2}}$

したがって、変曲点は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}}\right)$ と $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}}\right)$ です。

3. 最終的な答え

凹凸：

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ で下に凸

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ で上に凸

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ で下に凸

変曲点：

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}}\right), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-\frac{1}{2}}\right)$