与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx}$$ ここで、$k$ と $m$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx}$$

ここで、$k$ と $m$ は定数です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、自然対数を利用します。

まず、

$$y = \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx}$$

とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$$\ln y = mx \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)$$

次に、$\lim_{x \to \pm \infty} \ln y$ を計算します。

$$\lim_{x \to \pm \infty} \ln y = \lim_{x \to \pm \infty} mx \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)$$

この極限は不定形 $\infty \cdot 0$ の形をしているため、変形してロピタルの定理を適用できるようにします。

$$\lim_{x \to \pm \infty} mx \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{k}{x}\right)}{\frac{1}{mx}}$$

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{k}{x}} \cdot \left(-\frac{k}{x^2}\right)}{-\frac{1}{mx^2}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{mk}{1 + \frac{k}{x}}$$

$x \to \pm \infty$ のとき、$\frac{k}{x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{mk}{1 + \frac{k}{x}} = mk$$

したがって、

$$\lim_{x \to \pm \infty} \ln y = mk$$

よって、

$$\lim_{x \to \pm \infty} y = e^{mk}$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to \pm \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{mk}$$