関数 $y = (\tan x)^{\sin x}$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\tan x)^{\sin x}$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとると、

$$\log y = \sin x \log (\tan x)$$

両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \log (\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \log (\tan x) + \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \log (\tan x) + \cos x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \log (\tan x) + \frac{1}{\cos x}$$

$$\frac{dy}{dx} = y \left( (\cos x) \log (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left( (\cos x) \log (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$$

3. 最終的な答え

$y' = (\tan x)^{\sin x} \left( (\cos x) \log (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$