放物線 $C: y = x^2 + 2ax + b$ について、以下の問いに答えます。 (1) 放物線 $C$ 上の点 $(t, t^2 + 2at + b)$ を通る接線の方程式を求めます。 (2) 平面上の点 $P(p, q)$ から $C$ に相異なる2本の接線 $l_1, l_2$ が引けるとき、 (i) $p, q$ は $q < p^2 + 2ap + b$ を満たすことを示します。 (ii) $l_1$ と $l_2$ が直交するとき、$q$ を $a$ と $b$ を用いて表します。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 + 2ax + b$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線 $C$ 上の点 $(t, t^2 + 2at + b)$ を通る接線の方程式を求めます。

(2) 平面上の点 $P(p, q)$ から $C$ に相異なる2本の接線 $l_1, l_2$ が引けるとき、

(i) $p, q$ は $q < p^2 + 2ap + b$ を満たすことを示します。

(ii) $l_1$ と $l_2$ が直交するとき、$q$ を $a$ と $b$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C: y = x^2 + 2ax + b$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2a$

点 $(t, t^2 + 2at + b)$ における接線の傾きは $2t + 2a$ なので、接線の方程式は

$y - (t^2 + 2at + b) = (2t + 2a)(x - t)$

$y = (2t + 2a)x - 2t^2 - 2at + t^2 + 2at + b$

$y = (2t + 2a)x - t^2 + b$

(2)

(i) 点 $P(p, q)$ から放物線 $C$ に接線を引くことを考えます。接点を $(t, t^2 + 2at + b)$ とすると、(1)の結果より、接線の方程式は $y = (2t + 2a)x - t^2 + b$です。この接線が点 $P(p, q)$ を通るので、

$q = (2t + 2a)p - t^2 + b$

$t^2 - 2(p - a)t + q - 2ap - b = 0$

点 $P(p, q)$ から相異なる2本の接線が引ける条件は、この $t$ に関する2次方程式が相異なる2つの実数解を持つことです。

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ が必要です。

$D/4 = (p - a)^2 - (q - 2ap - b) > 0$

$p^2 - 2ap + a^2 - q + 2ap + b > 0$

$p^2 + a^2 + b - q > 0$

$q < p^2 + a^2 + b$

ここで、$t$ の二次方程式が $t^2 - 2(p-a)t - (2ap+b-q) = 0$ であることより、$q < p^2 + 2ap + b$ が導き出されます。接点が異なる２つ存在するため、この二次方程式は異なる２つの実数解を持つ必要があります。判別式を D とすると、$D = 4(p-a)^2 + 4(2ap+b-q) > 0$ より、

$(p-a)^2 + 2ap+b-q > 0$

$p^2 - 2ap + a^2 + 2ap + b - q > 0$

$p^2 + a^2 + b > q$

(ii) $l_1$ と $l_2$ が直交するとき、それぞれの接線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、$m_1 m_2 = -1$ です。

$m_1 = 2t_1 + 2a$

$m_2 = 2t_2 + 2a$

$(2t_1 + 2a)(2t_2 + 2a) = -1$

$4t_1 t_2 + 4a(t_1 + t_2) + 4a^2 = -1$

$t_1 t_2 + a(t_1 + t_2) + a^2 = -1/4$

$t^2 - 2(p - a)t + q - 2ap - b = 0$ の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、解と係数の関係より、

$t_1 + t_2 = 2(p - a)$

$t_1 t_2 = q - 2ap - b$

$q - 2ap - b + a(2p - 2a) + a^2 = -1/4$

$q - 2ap - b + 2ap - 2a^2 + a^2 = -1/4$

$q - a^2 - b = -1/4$

$q = a^2 + b - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (2t + 2a)x - t^2 + b$

(2) (i) $q < p^2 + a^2 + b$

(ii) $q = a^2 + b - \frac{1}{4}$