問題文は、次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ、というものです。具体的には以下の3つの級数について考えます。 (1) $\frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \dots$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}$ (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \{2(-\frac{2}{3})^{n-1} + 3(\frac{1}{4})^{n-1}\}$

1. 問題の内容

問題文は、次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ、というものです。具体的には以下の3つの級数について考えます。

(1) $\frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \frac{1}{10\cdot13} + \dots$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \{2(-\frac{2}{3})^{n-1} + 3(\frac{1}{4})^{n-1}\}$

2. 解き方の手順

(1)

この級数は、部分分数分解を利用して考えます。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})$

部分和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$

$= \frac{1}{3} [ (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}) ]$

$= \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3n+1})$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{3n+1} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{3}$

(2)

分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(2n+1) - (2n-1)} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

部分和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})$

$= \frac{1}{2} [ (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) ]$

$= \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{2n+1} \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \infty$

したがって、この級数は発散します。

(3)

$\sum_{n=1}^{\infty} \{2(-\frac{2}{3})^{n-1} + 3(\frac{1}{4})^{n-1}\} = 2\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{2}{3})^{n-1} + 3\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n-1}$

これは2つの等比級数の和です。

1つ目の等比級数は、初項1、公比 $-\frac{2}{3}$ なので、収束し、和は $\frac{1}{1-(-\frac{2}{3})} = \frac{1}{1+\frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$

2つ目の等比級数は、初項1、公比 $\frac{1}{4}$ なので、収束し、和は $\frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \{2(-\frac{2}{3})^{n-1} + 3(\frac{1}{4})^{n-1}\} = 2(\frac{3}{5}) + 3(\frac{4}{3}) = \frac{6}{5} + 4 = \frac{6+20}{5} = \frac{26}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{3}$

(2) 発散する

(3) 収束し、和は $\frac{26}{5}$