$\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$ および $\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$ が与えられているとき、$\cos(x+y)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$ および $\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$ が与えられているとき、$\cos(x+y)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの式をそれぞれ2乗します。

$(\sin x + \sin y)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \sin y + \sin^2 y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$(\cos x - \cos y)^2 = \cos^2 x - 2\cos x \cos y + \cos^2 y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

次に、これらの2式を足し合わせます。

$\sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 y + \cos^2 y + 2(\sin x \sin y - \cos x \cos y) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4}$

$1 + 1 - 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y) = \frac{4+9}{36}$

$2 - 2\cos(x+y) = \frac{13}{36}$

$-2\cos(x+y) = \frac{13}{36} - 2 = \frac{13-72}{36} = -\frac{59}{36}$

$\cos(x+y) = \frac{59}{72}$

3. 最終的な答え

$\cos(x+y) = \frac{59}{72}$