不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺が正であることを確認します。$\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}}$ は常に正なので、$\cos x > 0$ である必要があります。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、

$1 - \cos^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

$\frac{3}{2} < 2\cos^2 x$

$\cos^2 x > \frac{3}{4}$

$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos x > 0$ より、$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ のみを考慮します。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$