関数 $y = (\tan x)^{\sin x} (0 < x < \frac{\pi}{2})$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\tan x)^{\sin x} (0 < x < \frac{\pi}{2})$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数微分法を用います。まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((\tan x)^{\sin x}) = \sin x \ln(\tan x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

となります。

右辺は積の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx} (\sin x \ln(\tan x)) = (\cos x) \ln(\tan x) + \sin x \frac{1}{\tan x} \frac{1}{\cos^2 x}$

$= (\cos x) \ln(\tan x) + \sin x \frac{\cos x}{\sin x} \frac{1}{\cos^2 x}$

$= (\cos x) \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( (\cos x) \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$

$y = (\tan x)^{\sin x}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left( (\cos x) \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$

3. 最終的な答え

$y' = (\tan x)^{\sin x} \left( (\cos x) \ln(\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$