数列 $(1 + \frac{2}{n})^{3n}$ の $n \to \infty$ における極限値を求めます。

1. 問題の内容

数列 $(1 + \frac{2}{n})^{3n}$ の $n \to \infty$ における極限値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$m = \frac{n}{2}$ と置換します。すると、$n = 2m$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ です。

与えられた数列は次のように書き換えられます。

$(1 + \frac{2}{n})^{3n} = (1 + \frac{1}{m})^{3(2m)} = (1 + \frac{1}{m})^{6m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^6$

ここで、自然対数の底 $e$ の定義式

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$

を用いると、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{3n} = \lim_{m \to \infty} [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^6 = [\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{m}]^6 = e^6$

3. 最終的な答え

$e^6$