(1) 球面 $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 2z + 5 = 0$ と $xy$ 平面の交わりについて、交わりの円の中心と半径を求めます。 (2) 中心が点 $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式を求めます。また、球面 $S$ と平面 $x = k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、$k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 球面 $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 2z + 5 = 0$ と $xy$ 平面の交わりについて、交わりの円の中心と半径を求めます。

(2) 中心が点 $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接する球面 $S$ の方程式を求めます。また、球面 $S$ と平面 $x = k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、$k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球面の方程式を平方完成します。

$x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 + 2z + 5 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 2z + 1) = 4 + 9 + 1 - 5$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9 = 3^2$

球面の中心は $(2, 3, -1)$ で、半径は $3$ です。

$xy$ 平面の方程式は $z = 0$ です。$z = 0$ を球の方程式に代入すると、

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 + 1)^2 = 9$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$

したがって、$xy$ 平面との交わりの円の中心は $(2, 3)$ で、半径は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

(2) 球面 $S$ の中心は $(-2, 4, -2)$ で、2つの座標平面に接するとあるので、$x$ 軸に垂直な平面と $z$ 軸に垂直な平面に接している。中心の座標から、半径は $|-2|=2$ である。球の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 2^2 = 4$

球面 $S$ と平面 $x = k$ の交わりが半径 $\sqrt{3}$ の円であるとき、平面 $x=k$ で切断した円の中心は $(k,4,-2)$で、半径を $r$ とすると、$r = \sqrt{3}$ である。

$(-2,4,-2)$ と $(k,4,-2)$ の距離 $d$ は $|k-(-2)| = |k+2|$ である。

ピタゴラスの定理より、

$r^2 + d^2 = 半径^2$

$(\sqrt{3})^2 + (k + 2)^2 = 2^2$

$3 + (k + 2)^2 = 4$

$(k + 2)^2 = 1$

$k + 2 = \pm 1$

$k = -2 \pm 1$

$k = -1, -3$

3. 最終的な答え

(1) 中心が点 $(2, 3)$ 、半径が $2\sqrt{2}$ の円である。

(2) 球面 $S$ の方程式は $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = 4$ である。また、$k = -1, -3$ である。