与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

次に、この式を$a$について整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2 = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

さらに、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$と、$b^2c - bc^2 = bc(b-c)$を利用して式を整理します。

$(b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$で括り出します。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中身を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、与えられた式は以下のように因数分解できます。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

因数分解された形は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。