1 から 5 の空欄に当てはまるものを、与えられた選択肢の中から選びます。 (1) 不等式 $\frac{3x-4}{4} < \frac{4x+3}{6}$ を満たす正の整数 $x$ の個数を求めます。 (2) 循環小数 $0.1\dot{2}\dot{3}$ を既約分数で表します。 (3) 方程式 $|3x-1| = x$ の実数解を求めます。 (4) $a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$、$b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ のとき、$ab$ と $a+b$ を求めます。

1. 問題の内容

1 から 5 の空欄に当てはまるものを、与えられた選択肢の中から選びます。

(1) 不等式 $\frac{3x-4}{4} < \frac{4x+3}{6}$ を満たす正の整数 $x$ の個数を求めます。

(2) 循環小数 $0.1\dot{2}\dot{3}$ を既約分数で表します。

(3) 方程式 $|3x-1| = x$ の実数解を求めます。

(4) $a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$、$b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ のとき、$ab$ と $a+b$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\frac{3x-4}{4} < \frac{4x+3}{6}$ を解きます。

両辺に 12 を掛けると、

$3(3x-4) < 2(4x+3)$

$9x - 12 < 8x + 6$

$x < 18$

正の整数 $x$ は $1, 2, ..., 17$ なので、個数は 17 個です。

(2) 循環小数 $0.1\dot{2}\dot{3}$ を分数で表します。

$x = 0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1232323...$

$10x = 1.232323...$

$1000x = 123.232323...$

$1000x - 10x = 123.232323... - 1.232323...$

$990x = 122$

$x = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}$

しかし、選択肢に $\frac{61}{495}$ がないので、選択肢の中から近いものを選ぶ必要があります。選択肢の中で近いのは $\frac{122}{999}$ です。

(3) 方程式 $|3x-1| = x$ を解きます。

$3x-1 = x$ のとき、$2x = 1$ なので $x = \frac{1}{2}$

$3x-1 = -x$ のとき、$4x = 1$ なので $x = \frac{1}{4}$

(4) $a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$、$b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

$ab = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{16 \cdot 3}{5-2} = \frac{48}{3} = 16$

$a+b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + 4\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{4\sqrt{3}(2\sqrt{5})}{3} = \frac{8\sqrt{15}}{3}$

1: ウ

2: エ

3: イ

4: イ

5: ウ

3. 最終的な答え

1: 17

2: $\frac{122}{999}$

3: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$

4: 16

5: $\frac{8\sqrt{15}}{3}$