$(x+y+z)^5$ の展開式における異なる項の数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+y+z)^5$ の展開式における異なる項の数を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x+y+z)^5$ の展開式の一般項は、$Cx^ay^bz^c$ の形になります。ここで、$a, b, c$ は非負の整数で、$a+b+c = 5$ を満たします。

異なる項の数は、$a+b+c=5$ を満たす非負整数解の組 $(a, b, c)$ の数に等しくなります。

この問題は、5個の同じものを3つの異なる箱（x, y, z）に入れる場合の数と考えることができます。これは重複組み合わせの問題です。

重複組み合わせの公式を用いると、$n$個のものから$r$個を選ぶ重複組み合わせの数は $_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題の場合、$n = 3$ (x, y, z) であり、$r = 5$ です。したがって、組み合わせの数は $_{3+5-1}C_5 = {}_7C_5$ となります。

${}_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

21