与えられた多項式の積を展開した際に、指定された次数の項の係数を求める問題です。ここでは、(3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ の展開における $x^2$ の係数と、(5) $(3-5x^2-3x^3)(1+x-x^3)$ の展開における $x^3$ の係数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた多項式の積を展開した際に、指定された次数の項の係数を求める問題です。ここでは、(3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ の展開における $x^2$ の係数と、(5) $(3-5x^2-3x^3)(1+x-x^3)$ の展開における $x^3$ の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ の展開における $x^2$ の係数を求めます。

$x^2$の項は以下の組み合わせで得られます：

* $x^2$ と 定数項: $x^2 \cdot 1 = x^2$ および $1 \cdot 2x^2 = 2x^2$

* $x$ と $x$: $5x \cdot (-4x) = -20x^2$

したがって、$x^2$ の係数は $1 + 2 - 20 = -17$ です。

(5) $(3-5x^2-3x^3)(1+x-x^3)$ の展開における $x^3$ の係数を求めます。

$x^3$の項は以下の組み合わせで得られます：

* 定数項と$x^3$: $3 \cdot (-x^3) = -3x^3$

* $x^2$と$x$: $-5x^2 \cdot x = -5x^3$

* $x^3$と定数項: $-3x^3 \cdot 1 = -3x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $-3 - 5 - 3 = -11$ です。

3. 最終的な答え

(3) の $x^2$ の係数は $-17$ です。

(5) の $x^3$ の係数は $-11$ です。