与えられた各多項式の積を展開したときに、指定された次数の項の係数を求める問題です。今回は(1)と(3)と(5)を解きます。 (1) $(x^2+5x-2)(x^2-3x-1)$ の $x^3$ の項の係数を求める。 (3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ の $x^2$ の項の係数を求める。 (5) $(3-5x-3x^3)(1+x-x^3)$ の $x^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた各多項式の積を展開したときに、指定された次数の項の係数を求める問題です。今回は(1)と(3)と(5)を解きます。

(1) $(x^2+5x-2)(x^2-3x-1)$ の $x^3$ の項の係数を求める。

(3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ の $x^2$ の項の係数を求める。

(5) $(3-5x-3x^3)(1+x-x^3)$ の $x^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2+5x-2)(x^2-3x-1)$ を展開し、$x^3$ の項のみを考えます。

$x^2$ の項と $-3x$ の項を掛けると、$x^3$ の項 $-3x^3$ が出てきます。

$5x$ の項と $x^2$ の項を掛けると、$x^3$ の項 $5x^3$ が出てきます。

したがって、$x^3$ の項は $-3x^3 + 5x^3 = 2x^3$ となり、係数は 2 です。

(3) $(x^2+5x+1)(2x^2-4x+1)$ を展開し、$x^2$ の項のみを考えます。

$x^2$ の項と $1$ の項を掛けると、$x^2$ の項 $x^2$ が出てきます。

$5x$ の項と $-4x$ の項を掛けると、$x^2$ の項 $-20x^2$ が出てきます。

$1$ の項と $2x^2$ の項を掛けると、$x^2$ の項 $2x^2$ が出てきます。

したがって、$x^2$ の項は $x^2 - 20x^2 + 2x^2 = -17x^2$ となり、係数は -17 です。

(5) $(3-5x-3x^3)(1+x-x^3)$ を展開し、$x^3$ の項のみを考えます。

$3$ の項と $-x^3$ の項を掛けると、$x^3$ の項 $-3x^3$ が出てきます。

$-5x$ の項と $x^2$の項を掛けると、$x^3$の項 $5x*x^2$が出てきます。

$-3x^3$ の項と $1$ の項を掛けると、$x^3$ の項 $-3x^3$ が出てきます。

したがって、$x^3$ の項は $-3x^3 - 3x^3 = -6x^3$ となり、係数は -6 です。

3. 最終的な答え

(1) の答え：2

(3) の答え：-17

(5) の答え：-6