$3^{100}$ は何桁の整数か、また $0.3^{100}$ を小数で表示したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$3^{100}$ は何桁の整数か、また $0.3^{100}$ を小数で表示したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $3^{100}$ の桁数を求める。

$N = 3^{100}$ とおくと、$\log_{10}N = \log_{10}3^{100} = 100 \log_{10}3 = 100 \times 0.4771 = 47.71$ となります。

したがって、$N = 10^{47.71} = 10^{47} \times 10^{0.71}$ となります。

$10^{47}$ は48桁の整数であり、$1 < 10^{0.71} < 10$ であるから、$N$ は48桁の整数です。

(2) $0.3^{100}$ の小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$M = 0.3^{100} = (3 \times 10^{-1})^{100} = 3^{100} \times 10^{-100}$ とおくと、$\log_{10}M = \log_{10}(3^{100} \times 10^{-100}) = \log_{10}3^{100} + \log_{10}10^{-100} = 100\log_{10}3 - 100 = 100 \times 0.4771 - 100 = 47.71 - 100 = -52.29$ となります。

したがって、$M = 10^{-52.29} = 10^{-53} \times 10^{0.71}$ となります。

$10^{-53}$ は小数第53位まで0が並ぶ数であり、$1 < 10^{0.71} < 10$ であるから、$M$ は小数第53位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

$3^{100}$ は 48 桁の整数であり、$0.3^{100}$ は小数第 53 位に初めて0でない数字が現れます。