問題は、平方根に関する正誤問題、いくつかの数の計算、式の計算、分母の有理化です。具体的には、 (1) 平方根に関する正誤問題を選ぶ。 (2) $(\sqrt{13})^2, (-\sqrt{13})^2, \sqrt{5^2}, \sqrt{(-5)^2}$ の値を求める。 (3) $6\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 3\sqrt{2}, \sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{8} - \sqrt{2}, (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2, (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})$ を計算する。 (4) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{12}}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

問題は、平方根に関する正誤問題、いくつかの数の計算、式の計算、分母の有理化です。具体的には、

(1) 平方根に関する正誤問題を選ぶ。

(2) $(\sqrt{13})^2, (-\sqrt{13})^2, \sqrt{5^2}, \sqrt{(-5)^2}$ の値を求める。

(3) $6\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 3\sqrt{2}, \sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{8} - \sqrt{2}, (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2, (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})$ を計算する。

(4) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{12}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

(1) 正誤問題：

① 7の平方根は $\pm\sqrt{7}$ である。これは正しい。

② 7の平方根は $\sqrt{7}$ のみである。これは誤り。負の平方根 $-\sqrt{7}$ もある。

③ $\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$ である。これは誤り。平方根は正の値のみをとる。

④ $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ である。これは正しい。

(2) 値の計算：

$(\sqrt{13})^2 = 13$

$(-\sqrt{13})^2 = 13$

$\sqrt{5^2} = 5$

$\sqrt{(-5)^2} = | -5 | = 5$

(3) 式の計算：

(1) $6\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (6 - 8 + 3)\sqrt{2} = \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

(4) $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$

(4) 分母の有理化：

(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) ①と④

(2) $(\sqrt{13})^2 = 13$

$(-\sqrt{13})^2 = 13$

$\sqrt{5^2} = 5$

$\sqrt{(-5)^2} = 5$

(3) (1) $\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(3) $7 + 2\sqrt{10}$

(4) $6$

(4) (1) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$