(1) $\sqrt{756n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ を求める問題です。 (2) 3つの数 12, 120, $n$ の最大公約数が4、最小公倍数が600となるような自然数 $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{756n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ を求める問題です。

(2) 3つの数 12, 120, $n$ の最大公約数が4、最小公倍数が600となるような自然数 $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、756を素因数分解します。

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$

$\sqrt{756n} = \sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 \cdot n}$

$\sqrt{756n}$ が整数になるためには、根号の中身が平方数になる必要があります。

したがって、$n$ は $3 \cdot 7 = 21$ を少なくとも含む必要があります。

よって、$n = 3 \cdot 7 = 21$ のとき、$\sqrt{756n} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ となり整数になるので、$n=21$は条件を満たします。

(2)

$12 = 2^2 \cdot 3$

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とします。

最大公約数が4なので、$2^2$が最大公約数に含まれ、$3$や$5$は最大公約数に含まれません。

したがって、$a=2$です。

最小公倍数が600なので、$600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$です。

$12, 120, n$ の最小公倍数は $2^{\max(2, 3, a)} \cdot 3^{\max(1, 1, b)} \cdot 5^{\max(0, 1, c)}$ で表されます。

$a = 2$ なので、$\max(2, 3, a) = 3$ となり、 $2^3$が最小公倍数に含まれます。

$\max(1, 1, b) = 1$ なので、$b=0$または$b=1$である必要があります。

$\max(0, 1, c) = 2$ なので、$c=2$となります。

最大公約数が4なので、$n$は3の倍数であってはならず、$5$の倍数であってもならないため、$b$は0でなければなりません。

したがって、$n = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$ です。

しかし、12, 120, 100 の最大公約数は4であり、最小公倍数は600です。

3. 最終的な答え

(1) $n = 21$

(2) $n = 100$