関数 $f(\theta) = \cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta$ について、以下の問題を解きます。 (1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求めます。 (2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta$ について、以下の問題を解きます。

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求めます。

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(\theta)$ を変形します。

$f(\theta) = \cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta$

$= \cos^2\theta - \sin^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 4\sin^2\theta$

$= \cos 2\theta + 4(2\sin\theta\cos\theta) - 4\sin^2\theta$

$= \cos 2\theta + 4\sin 2\theta - 4\sin^2\theta$

ここで、$2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta$ より、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ なので、

$f(\theta) = \cos 2\theta + 4\sin 2\theta - 4 \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)$

$= \cos 2\theta + 4\sin 2\theta - 2 + 2\cos 2\theta$

$= 3\cos 2\theta + 4\sin 2\theta - 2$

さらに、$f(\theta)$ を合成します。

$f(\theta) = 5\left(\frac{3}{5}\cos 2\theta + \frac{4}{5}\sin 2\theta\right) - 2$

ここで、$\cos \alpha = \frac{3}{5}, \sin \alpha = \frac{4}{5}$ となる $\alpha$ を用いると、

$f(\theta) = 5(\cos\alpha\cos 2\theta + \sin\alpha\sin 2\theta) - 2$

$f(\theta) = 5\cos(2\theta - \alpha) - 2$

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2\theta \le \pi$ なので、$-\alpha \le 2\theta - \alpha \le \pi - \alpha$です。

$\cos \alpha = \frac{3}{5} > 0$ なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$です。

したがって、$- \frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$ であり、$\frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi$となります。

$-1 \le \cos(2\theta - \alpha) \le 1$ であり、

$\cos(2\theta - \alpha) = 1$ のとき、最大値 $5(1) - 2 = 3$

$2\theta - \alpha = 0$ より $\theta = \frac{\alpha}{2}$ で最大値3を取ります。

$\cos(2\theta - \alpha) = -1$ のとき、最小値 $5(-1) - 2 = -7$

$2\theta - \alpha = \pi$ より $\theta = \frac{\pi + \alpha}{2}$ で最小値-7を取ります。

ここで $0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$ と $0 \le \frac{\pi + \alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$ を確認します。

$\alpha$ が $0$ より大きく $\frac{\pi}{2}$ より小さいので、$\frac{\alpha}{2}$ は範囲内にあります。しかし、$\frac{\pi + \alpha}{2}$ は$\frac{\pi}{2}$ より大きくなるので、不適です。

$2\theta - \alpha = \pi$ の時、$\theta = \frac{\pi+\alpha}{2} > \frac{\pi}{2}$ なので不適です。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$2\theta - \alpha = \pi - \alpha$

$f(\frac{\pi}{2}) = 5\cos(\pi - \alpha) - 2 = -5\cos\alpha - 2 = -5(\frac{3}{5}) - 2 = -5$

$\theta = 0$のとき、$2\theta - \alpha = -\alpha$

$f(0) = 5\cos(-\alpha) - 2 = 5\cos\alpha - 2 = 5(\frac{3}{5}) - 2 = 1$

よって、最大値は3, 最小値は-7ではありません。

最小値は-5です。

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ より、$0 \le 2\theta \le \frac{\pi}{2}$ なので、$-\alpha \le 2\theta - \alpha \le \frac{\pi}{2} - \alpha$です。

$-\alpha > - \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} - \alpha > 0$です。

$-1 \le \cos(2\theta - \alpha) \le 1$ であり、

$\cos(2\theta - \alpha) = 1$ のとき、最大値 $5(1) - 2 = 3$

$2\theta - \alpha = 0$ より $\theta = \frac{\alpha}{2}$ で最大値3を取ります。

$\cos(2\theta - \alpha)$ の最小値は、$-\alpha$ または $\frac{\pi}{2} - \alpha$ のどちらか大きい方の絶対値が大きい方です。

$\theta = 0$ のとき、$2\theta - \alpha = -\alpha$なので、$f(0) = 5\cos(-\alpha) - 2 = 5(\frac{3}{5}) - 2 = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$2\theta - \alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha$なので、$f(\frac{\pi}{4}) = 5\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) - 2 = 5\sin\alpha - 2 = 5(\frac{4}{5}) - 2 = 2$

したがって、最大値は3, 最小値は1です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3, 最小値: -5

(2) 最大値: 3, 最小値: 1