関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとき、$|h|$ が十分に小さいならば、$f(h)$ の値が以下の式で近似できるのはなぜかという質問です。 $f(h) \approx f(0) + f'(0)h$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとき、$|h|$ が十分に小さいならば、$f(h)$ の値が以下の式で近似できるのはなぜかという質問です。

$f(h) \approx f(0) + f'(0)h$

2. 解き方の手順

この近似は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開（あるいは1次近似）に基づいています。微分可能な関数は、ある点の周りで線形近似できるという考え方です。

ステップ1: テイラー展開

関数 $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー展開は次のようになります。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$

ステップ2: 1次近似

$x=a$ の十分近くでは、高次の項は無視できるため、1次近似は次のようになります。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

ステップ3: $x=0$ での近似

今回、$a=0$ であるため、上の式に代入すると、

$f(x) \approx f(0) + f'(0)(x-0)$

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$

ステップ4: $x=h$ での近似

$x$ を $h$ に置き換えると、

$f(h) \approx f(0) + f'(0)h$

したがって、$|h|$ が十分に小さいとき、$f(h)$ は $f(0) + f'(0)h$ で近似できます。

3. 最終的な答え

$f(h) \approx f(0) + f'(0)h$ で近似できる理由は、$f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開の1次近似だからです。$|h|$ が十分に小さいとき、高次の項を無視して線形近似を行うことで、$f(h)$ の値を近似できます。