画像には、$f(h)$ のテイラー展開が書かれています。そして、$f(x) = \sin x$としたとき、$x = 0$ の近くにおける $f(x)$ の5次の近似式を求める場合、「$x = 0$ の近くにおける」という意味は $a = 0$ のことですか、という質問が書かれています。質問に対する答えと、$\sin x$の5次の近似式を求めることが求められています。

1. 問題の内容

画像には、$f(h)$ のテイラー展開が書かれています。そして、$f(x) = \sin x$としたとき、$x = 0$ の近くにおける $f(x)$ の5次の近似式を求める場合、「$x = 0$ の近くにおける」という意味は $a = 0$ のことですか、という質問が書かれています。質問に対する答えと、$\sin x$の5次の近似式を求めることが求められています。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$ の近くにおける近似式を求めるということは、$a = 0$ でテイラー展開（マクローリン展開）をすることを意味します。したがって、質問に対する答えは「はい」です。

次に、$f(x) = \sin x$ の5次のマクローリン展開を求めます。

マクローリン展開は以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5 + \cdots$

各階微分を計算します。

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f''''(x) = \sin x$

$f'''''(x) = \cos x$

$x = 0$ における各階微分の値を計算します。

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(0) = -\cos 0 = -1$

$f''''(0) = \sin 0 = 0$

$f'''''(0) = \cos 0 = 1$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \cdots$

$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

$f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots$

したがって、$f(x) = \sin x$ の5次の近似式は、

$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

3. 最終的な答え

はい、$a = 0$ のことです。

$\sin x$ の5次の近似式は $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ です。