与えられた積分の計算と、積分結果に絶対値記号が付く理由を説明する問題です。積分は $\int \frac{1}{x(x+1)} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の計算と、積分結果に絶対値記号が付く理由を説明する問題です。積分は $\int \frac{1}{x(x+1)} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $x(x+1)$ をかけると、

$1 = A(x+1) + Bx$

$x = 0$ のとき、$1 = A(0+1) + B(0)$ より $A = 1$。

$x = -1$ のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1)$ より $B = -1$。

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x(x+1)} dx = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C_1$

$\int \frac{1}{x+1} dx = \log |x+1| + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{x(x+1)} dx = \log |x| - \log |x+1| + C$

対数の性質を用いて、

$\log |x| - \log |x+1| = \log \left| \frac{x}{x+1} \right|$

したがって、

$\int \frac{1}{x(x+1)} dx = \log \left| \frac{x}{x+1} \right| + C$

絶対値記号 $| \cdot |$ が付く理由は、対数関数 $\log(u)$ の定義域が $u > 0$ であるためです。つまり、$x$ や $x+1$ が負の値を取る場合でも、$\log$ の引数が正になるように、絶対値記号を付けます。

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x(x+1)} dx = \log \left| \frac{x}{x+1} \right| + C$