媒介変数 $t$ で表された曲線 $x=f(t)$, $y=g(t)$ ($α \le t \le β$) の長さ $L$ が、$L = \int_{α}^{β} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる理由を説明する。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x=f(t)$, $y=g(t)$ ($α \le t \le β$) の長さ $L$ が、$L = \int_{α}^{β} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる理由を説明する。

2. 解き方の手順

まず、曲線を微小な線分の集まりと捉え、各線分の長さを計算し、それを積分することで曲線の全長を求めるという考え方に基づきます。

1. 微小な区間 $[t, t + dt]$ を考えます。この区間における $x$ の変化量 $dx$ と $y$ の変化量 $dy$ はそれぞれ $dx = f'(t)dt$ および $dy = g'(t)dt$ で近似できます。

2. この微小な区間における曲線の長さ $dL$ は、ピタゴラスの定理より、$dL = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$ となります。

3. $dx = f'(t)dt$ および $dy = g'(t)dt$ を代入すると、$dL = \sqrt{(f'(t)dt)^2 + (g'(t)dt)^2} = \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2} dt$ となります。

4. 曲線の全長 $L$ は、区間 $[α, β]$ における $dL$ を積分することで求められます。

$$L = \int_{α}^{β} dL = \int_{α}^{β} \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2} dt$$

5. $f'(t) = \frac{dx}{dt}$ および $g'(t) = \frac{dy}{dt}$ であるから、$L = \int_{α}^{β} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$ となります。

3. 最終的な答え

曲線 $x=f(t)$, $y=g(t)$ ($α \le t \le β$) の長さ $L$ は、微小な線分の長さを積分することで $L = \int_{α}^{β} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる。