曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $-1 \le x \le 1$ の部分の長さを求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $-1 \le x \le 1$ の部分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、次の式で計算できます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{e^x + e^{-x}}{2}) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2$

したがって、$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

よって、曲線の長さ $L$ は次のようになります。

$L = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = [\frac{e^x - e^{-x}}{2}]_{-1}^1 = (\frac{e^1 - e^{-1}}{2}) - (\frac{e^{-1} - e^1}{2}) = \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e^{-1} - e}{2} = \frac{e - e^{-1} - e^{-1} + e}{2} = \frac{2e - 2e^{-1}}{2} = e - e^{-1}$

$e - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$e - \frac{1}{e}$