問題は、曲線 $y = f(x)$ (ただし $a \leq x \leq b$) の長さを表す式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$ を説明するように求めています。

1. 問題の内容

問題は、曲線 $y = f(x)$ (ただし $a \leq x \leq b$) の長さを表す式

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$

を説明するように求めています。

2. 解き方の手順

この式は、微小な弧長の要素を積分することによって曲線の全長を求めるという考え方に基づいています。

まず、$x$ 軸上で微小な長さ $\Delta x$ を考えます。曲線 $y = f(x)$ 上の対応する微小な弧長 $\Delta s$ を考えます。この微小な弧長 $\Delta s$ は、近似的に傾きが $f'(x)$ の直角三角形の斜辺とみなすことができます。

したがって、ピタゴラスの定理より、

$(\Delta s)^2 \approx (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$

$\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{1 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x$

ここで、$\Delta x \to 0$ の極限を取ると、

$ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$

曲線の全長 $L$ は、この微小な弧長 $ds$ を $x = a$ から $x = b$ まで積分することで得られます。したがって、

$L = \int_{a}^{b} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$

これが曲線の長さを求める公式です。

3. 最終的な答え

曲線の長さ $L$ は、区間 $[a, b]$ 上で $\sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}$ を積分することで求められます。この公式は、曲線を微小な線分の集まりとみなし、各線分の長さをピタゴラスの定理を用いて計算し、それらを積分することで全体の長さを求めるという考えに基づいています。