曲線 $y=f(x)$ （$a \le x \le b$）の長さ $L$ は、 $L = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_a^b \sqrt{1+\{f'(x)\}^2} dx$ で表される。 このとき、$x=f(t), y=g(t)$ ($ \alpha \le t \le \beta$ ) のパラメータ表示された曲線に対して、 $L = \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} dt$ となることを説明できるか。

1. 問題の内容

曲線 $y=f(x)$ （$a \le x \le b$）の長さ $L$ は、

$L = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_a^b \sqrt{1+\{f'(x)\}^2} dx$

で表される。

このとき、$x=f(t), y=g(t)$ ($\alpha \le t \le \beta$ ) のパラメータ表示された曲線に対して、

$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} dt$

となることを説明できるか。

2. 解き方の手順

$x=f(t)$ なので、$\frac{dx}{dt} = f'(t)$ が成り立つ。

$y=g(t)$ なので、$\frac{dy}{dt} = g'(t)$ が成り立つ。

連鎖律(Chain Rule)を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$

ここで、$dx = f'(t) dt$ なので、

$L = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx = \int_\alpha^\beta \sqrt{1+(\frac{g'(t)}{f'(t)})^2} f'(t) dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2} dt = \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt$

となる。

ただし、$a=f(\alpha), b=f(\beta)$ であり、また、$f'(t) > 0$ または $f'(t) < 0$ が区間 $[\alpha, \beta]$ で常に成り立つことを仮定している（すなわち、$x$ が $t$ の単調関数である）。

3. 最終的な答え

上記の通り、$L = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx$ から $L = \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt$ を説明できる。