$I(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2x - a\cos x)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、その最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$I(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2x - a\cos x)^2 dx$ を最小にする $a$ の値と、その最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$I(a)$ を展開して積分します。

$I(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4x^2 - 4ax\cos x + a^2 \cos^2 x) dx$

積分を計算するために、各項に分けて計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4x^2 dx = \frac{4}{3} x^3 |_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{3} (\frac{\pi}{2})^3 = \frac{\pi^3}{6}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4ax\cos x dx = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$

ここで部分積分を行います。$u=x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となるので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx = [x\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \frac{\pi}{2} - [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - (0-(-1)) = \frac{\pi}{2} - 1$

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4ax\cos x dx = 4a (\frac{\pi}{2} - 1) = 2\pi a - 4a$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \cos^2 x dx = a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ を用いると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = [\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \cos^2 x dx = \frac{\pi}{4} a^2$

これらの結果をまとめると、

$I(a) = \frac{\pi^3}{6} - (2\pi a - 4a) + \frac{\pi}{4} a^2 = \frac{\pi}{4} a^2 - (2\pi - 4) a + \frac{\pi^3}{6}$

これは $a$ の2次関数なので、平方完成して最小値を求めます。

$I(a) = \frac{\pi}{4} (a^2 - \frac{4}{\pi}(2\pi - 4)a) + \frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi}{4} (a^2 - (8 - \frac{16}{\pi}) a) + \frac{\pi^3}{6}$

$I(a) = \frac{\pi}{4} (a - (4 - \frac{8}{\pi}))^2 - \frac{\pi}{4} (4 - \frac{8}{\pi})^2 + \frac{\pi^3}{6}$

$I(a)$ は $a = 4 - \frac{8}{\pi}$ で最小値をとります。

最小値は $-\frac{\pi}{4} (4 - \frac{8}{\pi})^2 + \frac{\pi^3}{6} = -\frac{\pi}{4} (16 - \frac{64}{\pi} + \frac{64}{\pi^2}) + \frac{\pi^3}{6} = -4\pi + 16 - \frac{16}{\pi} + \frac{\pi^3}{6}$

$= 16 - \frac{16}{\pi} - 4\pi + \frac{\pi^3}{6}$

3. 最終的な答え

$a = 4 - \frac{8}{\pi}$ のとき、最小値は $16 - 4\pi - \frac{16}{\pi} + \frac{\pi^3}{6}$

$a = 4-\frac{8}{\pi}$

最小値 $16-4\pi-\frac{16}{\pi}+\frac{\pi^3}{6}$