不定積分 $\int \frac{x-3}{x^2-1} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x-3}{x^2-1} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ なので、

$$\frac{x-3}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$

と置きます。両辺に $x^2 - 1$ をかけると、

$$x-3 = A(x+1) + B(x-1)$$

となります。

$x=1$ を代入すると、

$1-3 = A(1+1) + B(1-1)$

$-2 = 2A$

$A = -1$

$x=-1$ を代入すると、

$-1-3 = A(-1+1) + B(-1-1)$

$-4 = -2B$

$B = 2$

したがって、

$$\frac{x-3}{x^2-1} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$$

よって、

$$\int \frac{x-3}{x^2-1} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x+1} \right) dx$$

$$= - \int \frac{1}{x-1} dx + 2 \int \frac{1}{x+1} dx$$

$$= - \log|x-1| + 2 \log|x+1| + C$$

$$= - \log|x-1| + \log|x+1|^2 + C$$

$$= \log \frac{|x+1|^2}{|x-1|} + C$$

3. 最終的な答え

$\log \frac{(x+1)^2}{|x-1|} + C$ (Cは積分定数)