$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関係式を用いて積分を書き換えます。

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx$$

次に、$1 - \cos^2 x = (1 + \cos x)(1 - \cos x)$ であることを用いて、積分の中身を部分分数分解します。

$$\frac{\sin x}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{A}{1 + \cos x} + \frac{B}{1 - \cos x}$$

両辺に $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$ をかけると、

$$\sin x = A(1 - \cos x) + B(1 + \cos x)$$

$\cos x = 1$ のとき、 $\sin x = 0$ より $0 = 2B$, よって $B = 0$

$\cos x = -1$ のとき、 $\sin x = 0$ より $0 = 2A$, よって $A=0$

しかし、これは間違っています。

正しくは、

$\sin x = A(1 - \cos x) + B(1 + \cos x)$

$\cos x = 1$ を代入すると $\sin x = 0$ なので $0 = 2B$ となり、$B = 0$ となる。しかし $\cos x = -1$ を代入すると $\sin x = 0$ なので $0 = 2A$ となり、$A = 0$ となる。

これは $A$ と $B$ が定数でないことを意味する。

$A$と$B$を求めるためには、$\sin x = a(1-\cos x) + b(1+\cos x)$ を展開して整理すると、

$\sin x = (b-a)\cos x + (a+b)$

となるので、 $b-a=0$ かつ $a+b=1$ を満たせばよい。

$a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$。

したがって、

$$\frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1/2}{1 + \cos x} + \frac{1/2}{1 - \cos x}$$

$$\int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos x} \sin x dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - \cos x} \sin x dx$$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ なので、

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos x} \sin x dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t} dt = -\frac{1}{2} \log |1 + t| = -\frac{1}{2} \log |1 + \cos x|$$

$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - \cos x} \sin x dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - t} dt = \frac{1}{2} \log |1 - t| = \frac{1}{2} \log |1 - \cos x|$$

よって、

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log |1 - \cos x| - \frac{1}{2} \log |1 + \cos x| + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \right| + C$$

ここで、$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x} = \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x} = \left( \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right)^2$

よって、

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \log \left| \left( \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right)^2 \right| + C = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right| + C$$

また、$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \csc x - \cot x = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \sin (x/2) \cos (x/2)} = \frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)} = \tan (x/2)$

$$\int \frac{1}{\sin x} dx = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$$

3. 最終的な答え

$\log \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$