$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ を利用します。

まず、積分を以下のように変形します。

$$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx$$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。よって、$\sin x dx = -du$ となります。

積分は以下のようになります。

$$\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{1-u^2} = - \int \frac{du}{1-u^2} = \int \frac{du}{u^2-1}$$

部分分数分解を利用して、$\frac{1}{u^2-1}$ を分解します。

$$\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$$

両辺に $(u-1)(u+1)$ をかけると、

$$1 = A(u+1) + B(u-1)$$

$u=1$ のとき、$1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

$u=-1$ のとき、$1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$$\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{2(u-1)} - \frac{1}{2(u+1)}$$

積分は以下のようになります。

$$\int \frac{du}{u^2-1} = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{2} (\ln|u-1| - \ln|u+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C$$

$u = \cos x$ を代入すると、

$$\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x -1}{\cos x +1}\right| + C$$

ここで、$\frac{\cos x -1}{\cos x +1} = \frac{-(1 - \cos x)}{1+\cos x} = -\frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = -\tan^2(\frac{x}{2})$ であるから

$$\frac{1}{2}\ln \left| -\tan^2\left(\frac{x}{2}\right) \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$$

3. 最終的な答え

$\ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C$