2つの放物線 $y=x^2-4x+2$ と $y=-x^2+2x-2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y=x^2-4x+2$ と $y=-x^2+2x-2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2-4x+2 = -x^2+2x-2$

$2x^2-6x+4 = 0$

$x^2-3x+2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

したがって、$x=1$ または $x=2$ が交点の $x$ 座標です。

次に、$1 \le x \le 2$ において、$y=-x^2+2x-2$ が $y=x^2-4x+2$ より上にあることを確認します。例えば、$x=1.5$ のとき、$y=-1.5^2+2(1.5)-2 = -2.25+3-2 = -1.25$ であり、$y=1.5^2-4(1.5)+2 = 2.25-6+2 = -1.75$ なので、$y=-x^2+2x-2$ が上側にあります。

面積 $S$ は、2つの曲線の間の積分で求められます。

$$S = \int_1^2 [(-x^2+2x-2) - (x^2-4x+2)] dx$$

$$S = \int_1^2 (-2x^2+6x-4) dx$$

$$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x\right]_1^2$$

$$S = \left(-\frac{2}{3}(2^3) + 3(2^2) - 4(2)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1^3) + 3(1^2) - 4(1)\right)$$

$$S = \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right)$$

$$S = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right)$$

$$S = -\frac{16}{3} + 4 + \frac{2}{3} + 1$$

$$S = -\frac{14}{3} + 5$$

$$S = -\frac{14}{3} + \frac{15}{3}$$

$$S = \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$