$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$ であることを利用して、不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$ であることを利用して、不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式 $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x}$ を用いて、積分を書き換えます。

$$$$

\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx

$$$$

次に、置換積分を行います。$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、$\sin x dx = -du$ です。

$$$$

\int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{1 - u^2} = - \int \frac{du}{1 - u^2}

$$$$

ここで、被積分関数 $\frac{1}{1 - u^2}$ を部分分数分解します。

$$$$

\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u}

$$$$

両辺に $(1 - u)(1 + u)$ を掛けると、

$$$$

1 = A(1 + u) + B(1 - u)

$$$$

$u = 1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$u = -1$ のとき $1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$

したがって、

$$$$

\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u}

$$$$

積分に戻ります。

$$$$

-\int \frac{du}{1 - u^2} = -\int \left(\frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u}\right) du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - u} du - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u} du

$$$$

$$$$

= \frac{1}{2} \ln |1 - u| - \frac{1}{2} \ln |1 + u| + C

$$$$

$$$$

= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - u}{1 + u} \right| + C

$$$$

$u = \cos x$ を代入して、

$$$$

\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \right| + C

$$$$

ここで、$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = \tan^2(x/2)$ であることを用いると、

$$$$

\frac{1}{2} \ln \left| \tan^2 \frac{x}{2} \right| + C = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C

$$$$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\sin x} = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$