サイクロイド曲線 $x = \theta - \sin\theta$, $y = 1 - \cos\theta$ の $0 \le \theta \le 2\pi$ の部分の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

サイクロイド曲線 $x = \theta - \sin\theta$, $y = 1 - \cos\theta$ の $0 \le \theta \le 2\pi$ の部分の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次のように計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} d\theta$

ここで、$a$ と $b$ は $\theta$ の積分範囲です。

まず、$x$ と $y$ を $\theta$ で微分します。

$\frac{dx}{d\theta} = 1 - \cos\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = \sin\theta$

次に、$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = (1 - \cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta)$

三角関数の半角の公式 $1-\cos\theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ を用いると、

$2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\frac{\theta}{2})$

したがって、$\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} = \sqrt{4\sin^2(\frac{\theta}{2})} = 2|\sin(\frac{\theta}{2})|$

区間 $0 \le \theta \le 2\pi$ において $\sin(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ なので、 $|\sin(\frac{\theta}{2})| = \sin(\frac{\theta}{2})$ となります。

したがって、曲線の長さは

$L = \int_{0}^{2\pi} 2\sin(\frac{\theta}{2}) d\theta$

ここで、$\frac{\theta}{2} = t$ とおくと、$\theta = 2t$ となり、$d\theta = 2dt$。積分範囲は $0 \le t \le \pi$。

$L = \int_{0}^{\pi} 2\sin(t) (2dt) = 4 \int_{0}^{\pi} \sin(t) dt = 4[-\cos(t)]_{0}^{\pi} = 4(-\cos(\pi) + \cos(0)) = 4(-(-1) + 1) = 4(1+1) = 8$

3. 最終的な答え

8