与えられた4つの関数をそれぞれ微分する。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する。

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x+3)(x^2-x+1)$

積の微分公式を使います。$y = uv$のとき、$y' = u'v + uv'$です。

$u = 2x+3$とすると、$u' = 2$

$v = x^2-x+1$とすると、$v' = 2x-1$

したがって、

$y' = 2(x^2-x+1) + (2x+3)(2x-1)$

$y' = 2x^2 - 2x + 2 + 4x^2 + 4x - 3$

$y' = 6x^2 + 2x - 1$

(2) $y = (x+1)(2x+1)(3x+1)$

まず、最初の2つの積を展開します。

$y = (2x^2+3x+1)(3x+1)$

再度、積の微分公式を使います。

$u = 2x^2+3x+1$とすると、$u' = 4x+3$

$v = 3x+1$とすると、$v' = 3$

$y' = (4x+3)(3x+1) + (2x^2+3x+1)(3)$

$y' = 12x^2 + 13x + 3 + 6x^2 + 9x + 3$

$y' = 18x^2 + 22x + 6$

(3) $y = \frac{x}{x^2-1}$

商の微分公式を使います。$y = \frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

$u = x$とすると、$u' = 1$

$v = x^2 - 1$とすると、$v' = 2x$

$y' = \frac{1(x^2-1) - x(2x)}{(x^2-1)^2}$

$y' = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2}$

$y' = \frac{-x^2 - 1}{(x^2-1)^2}$

$y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

(4) $y = \frac{1}{3x^3}$

$y = \frac{1}{3}x^{-3}$と書き換えます。

$y' = \frac{1}{3}(-3)x^{-4}$

$y' = -x^{-4}$

$y' = -\frac{1}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 6x^2 + 2x - 1$

(2) $y' = 18x^2 + 22x + 6$

(3) $y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

(4) $y' = -\frac{1}{x^4}$