不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を計算する問題です。$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを利用します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{dx}{\sin x}$ を計算する問題です。$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを利用します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を $\sin x$ で表します。

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx$

次に、$1-\cos^2 x$ を $(1+\cos x)(1-\cos x)$ と因数分解します。

$\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)} dx$

ここで、部分分数分解を考えます。$\frac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)} = \frac{A}{1+\cos x} + \frac{B}{1-\cos x}$ とおきます。

両辺に $(1+\cos x)(1-\cos x)$ をかけると、

$\sin x = A(1-\cos x) + B(1+\cos x)$

$\sin x = (A+B) + (B-A)\cos x$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、

$A+B = \sin x$ ではないです。

$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ と変形し、

$\frac{\sin x}{1-\cos^2 x} = \frac{A}{1-\cos x} + \frac{B}{1+\cos x}$

$\sin x = A(1+\cos x) + B(1-\cos x)$

$\sin x = (A+B) + (A-B) \cos x$

ここで、$A+B = \sin x$　と置くのは間違いです。

正しくは$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-\cos x} - \frac{1}{1+\cos x}\right) \frac{d(\cos x)}{-\sin x}$と置く方法ではなく、

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x}\right) dx$ と置くべきです。

$A+B = 0, A-B = 1$

したがって、$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

$\frac{\sin x}{1-\cos^2 x} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x}\right)$

よって、

$\int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x}\right) dx = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1+\cos x+1-\cos x}{1-\cos^2 x} \right) dx = \frac{1}{2} \int \frac{2}{\sin^2 x}dx = \int \frac{1}{\sin^2 x}dx = -\cot x + C$

別の方法として、$\tan(x/2) = t$ と置換すると、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$、$dx = \frac{2}{1+t^2}dt$ より

$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{1+t^2}{2t} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C = \ln |\tan (x/2)| + C$

$\ln |\tan (x/2)| = \ln \left| \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} \right|= \ln \left| \frac{2\sin^2 (x/2)}{2\sin(x/2) \cos(x/2)} \right| = \ln \left| \frac{1-\cos x}{\sin x} \right|$

$= \ln \left| \frac{1-\cos x}{\sin x} \frac{1+\cos x}{1+\cos x} \right| = \ln \left| \frac{\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)} \right| = \ln \left| \frac{\sin x}{1+\cos x} \right|$

画像の解き方には間違いがあります。

$\int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1-\cos x} + \frac{1}{1+\cos x}\right) dx$ を計算すると、

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \tan(\frac{x}{2})$と$\int \frac{1}{1-\cos x} dx = -\cot(\frac{x}{2})$を使うと

$\frac{1}{2} [ -\cot(\frac{x}{2}) + \tan(\frac{x}{2})] = \frac{1}{2}[ \frac{-\cos(x/2)}{\sin(x/2)} + \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}] = \frac{1}{2}[\frac{\sin^2 (x/2) - \cos^2 (x/2)}{\sin(x/2)\cos(x/2)} ]= \frac{1}{2} \frac{-\cos x}{(1/2)\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{dx}{\sin x} = \ln |\tan (x/2)| + C = -\cot x + C$