媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = f(t), y = g(t)$ ($α ≤ t ≤ β$) の長さ $L$ が、$L = \int_α^β \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_α^β \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = f(t), y = g(t)$ ($α ≤ t ≤ β$) の長さ $L$ が、$L = \int_α^β \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_α^β \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ ($α ≤ t ≤ β$) を考えます。

この曲線を $N$ 個の小区間に分割し、$i$ 番目の区間における $t$ の変化量を $Δt_i$ とします ($Δt_i = t_{i+1} - t_i$)。

この小区間における曲線の微小な長さを $Δs_i$ とします。

$Δs_i$ は、ピタゴラスの定理を使って近似できます。

$Δx_i = f(t_{i+1}) - f(t_i)$, $Δy_i = g(t_{i+1}) - g(t_i)$ とすると、

$Δs_i \approx \sqrt{(Δx_i)^2 + (Δy_i)^2}$ となります。

ここで、$Δx_i$ と $Δy_i$ を平均値の定理で近似します。

平均値の定理より、ある $t^*_i \in (t_i, t_{i+1})$ と $t^{**}_i \in (t_i, t_{i+1})$ が存在して、

$Δx_i = f'(t^*_i) Δt_i$, $Δy_i = g'(t^{**}_i) Δt_i$ となります。

したがって、$Δs_i \approx \sqrt{(f'(t^*_i))^2 (Δt_i)^2 + (g'(t^{**}_i))^2 (Δt_i)^2} = \sqrt{(f'(t^*_i))^2 + (g'(t^{**}_i))^2} Δt_i$ となります。

曲線の全長 $L$ は、これらの微小な長さ $Δs_i$ の総和を $N \to \infty$ とした極限で求められます。

$L = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N Δs_i = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N \sqrt{(f'(t^*_i))^2 + (g'(t^{**}_i))^2} Δt_i$

$N \to \infty$ のとき、$Δt_i \to 0$ となるので、$t^*_i$ と $t^{**}_i$ は同じ値に近づき、積分で表すことができます。

$L = \int_α^β \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2} dt = \int_α^β \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

3. 最終的な答え

曲線 $x = f(t), y = g(t)$ ($α ≤ t ≤ β$) の長さ $L$ は、$L = \int_α^β \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_α^β \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められます。

これは、曲線を微小な線分の集合で近似し、各線分の長さをピタゴラスの定理を用いて計算し、それらを積分することで求められるからです。