媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ ($α \leq t \leq β$) の長さ $L$ が、 $L = \int_{α}^{β} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$ で求められる理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ ($α \leq t \leq β$) の長さ $L$ が、

$L = \int_{α}^{β} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$

で求められる理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さを求める基本的な考え方は、曲線を微小な線分の集まりとみなし、それらの線分の長さを足し合わせることです。

1. 微小な時間間隔 $dt$ を考えます。この時間間隔の間に、曲線上の点は $(x, y)$ から $(x + dx, y + dy)$ へと移動します。

2. この微小な移動距離 $ds$ は、ピタゴラスの定理より、

$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$

で近似できます。

3. $dx$ と $dy$ を $dt$ で割ると、

$\frac{dx}{dt} = f'(t)$, $\frac{dy}{dt} = g'(t)$

となります。 従って、$dx = f'(t)dt$、$dy = g'(t)dt$ です。

4. $ds$ の式に代入すると、

$ds = \sqrt{(f'(t)dt)^2 + (g'(t)dt)^2} = \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2} dt$

5. 曲線全体の長さ $L$ は、この微小な長さ $ds$ を $t$ が $α$ から $β$ まで変化する間に積分することで得られます。

$L = \int_{α}^{β} ds = \int_{α}^{β} \sqrt{(f'(t))^2 + (g'(t))^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

3. 最終的な答え

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ ($α \leq t \leq β$) の長さ $L$ が

$L = \int_{α}^{β} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \int_{α}^{β} \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2} dt$

で求められる理由は、曲線を微小な線分の集まりとみなし、ピタゴラスの定理を用いて微小な線分の長さを計算し、それを積分することで曲線全体の長さを求めることができるためです。