与えられた関数を一般解とする、階数が最も低い微分方程式を求める問題です。 (1) $y = Ae^{4x} + Be^{5x}$ (2) $y = Ax + Be^{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を一般解とする、階数が最も低い微分方程式を求める問題です。

(1) $y = Ae^{4x} + Be^{5x}$

(2) $y = Ax + Be^{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = Ae^{4x} + Be^{5x}$ の場合:

この一般解は、特性方程式が $(r-4)(r-5)=0$ となるような同次線形微分方程式の解です。特性方程式を展開すると $r^2 - 9r + 20 = 0$ となります。

したがって、求める微分方程式は次のようになります。

$y'' - 9y' + 20y = 0$

(2) $y = Ax + Be^{x}$ の場合:

この一般解は、特性方程式が $r(r-1)=0$ となるような微分方程式の解ではありません。なぜなら、$Ax$ が特解の場合、対応する同次方程式の一般解は定数だからです。したがって、$y=Ax+Be^x$に対応する微分方程式は定数係数ではありません。

微分方程式を求めるために、まず、$y' = A + Be^{x}$ を計算します。

次に、$y'' = Be^{x}$ を計算します。

したがって、$y'' = y' - A$ となります。つまり、$A = y' - y''$ です。

もとの方程式に代入すると、$y = x(y' - y'') + y''$。

整理すると、$y = xy' - xy'' + y''$。

さらに整理すると、$y'' - xy'' + xy' - y = 0$。

つまり、$y'' (1 - x) + xy' - y = 0$。

あるいは、別の方法として、定数変化法を利用できます。

$y_1 = x$ と $y_2 = e^x$ は一次独立な解です。

ロンスキアンは、$W = \begin{vmatrix} x & e^x \\ 1 & e^x \end{vmatrix} = xe^x - e^x = (x-1)e^x$

従って、微分方程式は

$y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$

の形になります。

$p(x) = - \frac{y_1' y_2 - y_2' y_1}{W} - \frac{W'}{W} = -\frac{e^x \cdot 1 - e^x \cdot x}{(x-1) e^x} = \frac{x-1}{x-1} = - \frac{x}{x-1} = -\frac{W'}{W}$

$q(x) = \frac{y_1' y_2' - y_2' y_1'}{W} = 0$

$W' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

$\frac{W'}{W} = \frac{xe^x}{(x-1)e^x} = \frac{x}{x-1}$

$y'' - \frac{x}{x-1} y' = 0$

$(x-1)y'' - xy' = 0$

これは間違っている。

$y = Ax + Be^x$

$y' = A + Be^x$

$y'' = Be^x$

$y = Ax + y''$

$A = y' - y''$

$y = (y' - y'')x + y''$

$y = xy' - xy'' + y''$

$(x-1)y'' - xy' + y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $y'' - 9y' + 20y = 0$

(2) $(x-1)y'' - xy' + y = 0$