与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を用いて解くことができます。まず、$x \sin x + 9 \cos x$ を $f(x)$ とおきます。

$f(x) = x \sin x + 9 \cos x$

$f'(x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$

与えられた積分を以下のように変形します。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 81}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx - \int \frac{9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

ここで、被積分関数を次のように分解します。

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{A}{x \sin x + 9 \cos x} + \frac{B (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

与えられた積分を計算するために、

$u = \frac{-9 \cos x + x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$とすると、

$du = \frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

となることがわかる。

したがって、

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{-9 \cos x + x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x \sin x - 9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$