与えられた関数 $f(x)$ を指定された次数まで多項式近似し、その近似の様子を図示すること、および多項式近似の次数を増やすと近似がどのように変化するかを説明すること。最後に、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ と $e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$ が成り立つことを説明すること。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を指定された次数まで多項式近似し、その近似の様子を図示すること、および多項式近似の次数を増やすと近似がどのように変化するかを説明すること。最後に、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ と $e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$ が成り立つことを説明すること。

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ の場合:

テイラー展開を利用する。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f'(0) = -1$

$f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, $f''(0) = 2$

$f'''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$, $f'''(0) = -6$

1次近似: $1 - x$

2次近似: $1 - x + x^2$

3次近似: $1 - x + x^2 - x^3$

グラフを描画する。

(b) $f(x) = \sin x$ の場合:

$f(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -1$

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{x^3}{3!}$

グラフを描画する。

(c) $f(x) = \cos x$ の場合:

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\sin x$, $f'(0) = 0$

$f''(x) = -\cos x$, $f''(0) = -1$

$f'''(x) = \sin x$, $f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = \cos x$, $f^{(4)}(0) = 1$

2次近似: $1 - \frac{x^2}{2!}$

4次近似: $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}$

グラフを描画する。

(d) $f(x) = \exp(x) = e^x$ の場合:

$f(0) = 1$

$f'(x) = e^x$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = e^x$, $f''(0) = 1$

$f'''(x) = e^x$, $f'''(0) = 1$

1次近似: $1 + x$

2次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2!}$

3次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}$

グラフを描画する。

(e) $f(x) = \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ の場合:

$f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{\cosh^2 x}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{2\sinh x}{\cosh^3 x}$, $f''(0) = 0$

$f'''(x) = \frac{6\sinh^2 x}{\cosh^4 x} - \frac{2}{\cosh^2 x} = 2\tanh^2 x \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} - \frac{2}{\cosh^2 x}$, $f'''(0) = -2$

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{x^3}{3}$

グラフを描画する。

(f) 多項式展開の次数を拡げることで、より広い範囲で元の関数に近い近似が得られる。つまり、近似の精度が向上する。

(g) オイラーの公式の証明:

$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$

$e^{-i\theta} = \cos (-\theta) + i \sin (-\theta)$

$\cos (-\theta) = \cos \theta$ and $\sin (-\theta) = -\sin \theta$なので

$e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$

3. 最終的な答え

(a) 1次近似: $1 - x$, 2次近似: $1 - x + x^2$, 3次近似: $1 - x + x^2 - x^3$ (グラフは省略)

(b) 1次近似: $x$, 3次近似: $x - \frac{x^3}{6}$ (グラフは省略)

(c) 2次近似: $1 - \frac{x^2}{2}$, 4次近似: $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ (グラフは省略)

(d) 1次近似: $1 + x$, 2次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2}$, 3次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ (グラフは省略)

(e) 1次近似: $x$, 3次近似: $x - \frac{x^3}{3}$ (グラフは省略)

(f) 次数を増やすほど近似の精度が向上する。

(g) $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, $e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta$