$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{450 - 18n}$ が自然数となるような $n$ の個数と、それらのうち最小の $n$ を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$\sqrt{450 - 18n}$ が自然数となるような $n$ の個数と、それらのうち最小の $n$ を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{450 - 18n}$ が自然数になるためには、$450 - 18n$ が0以上の平方数である必要がある。

$450 - 18n = k^2$ (ただし、$k$ は0以上の整数) とおける。

ここで、$18n = 450 - k^2$ より、$n = \frac{450 - k^2}{18}$。

$n$ は自然数なので、$\frac{450 - k^2}{18}$ は自然数でなければならない。

つまり、$450 - k^2$ は18の倍数であり、かつ正の整数である。

$450 - k^2 > 0$ より、$k^2 < 450$ である必要がある。

$k$ は整数なので、$0 \le k \le 21$。

$450 - k^2$ が18の倍数となる条件を考える。

$450 = 18 \times 25$ なので、$k^2$ も18の倍数である必要がある。

したがって、$k$ は3の倍数である必要がある。 (例えば、$k=3k'$とおくと、$k^2 = 9(k')^2$なので、18の倍数になるためには、$k'$は2の倍数であることが必要で、3の倍数である必要がある。すると、$k$ は6の倍数である必要がある。しかし、3の倍数でも良いことがわかる。)

$k$ が3の倍数である場合、$k = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ を考える。

それぞれの $k$ について、$n$ の値を計算する。

$k = 0$ のとき、$n = \frac{450}{18} = 25$

$k = 3$ のとき、$n = \frac{450 - 9}{18} = \frac{441}{18} = 24.5$ (不適)

$k = 6$ のとき、$n = \frac{450 - 36}{18} = \frac{414}{18} = 23$

$k = 9$ のとき、$n = \frac{450 - 81}{18} = \frac{369}{18} = 20.5$ (不適)

$k = 12$ のとき、$n = \frac{450 - 144}{18} = \frac{306}{18} = 17$

$k = 15$ のとき、$n = \frac{450 - 225}{18} = \frac{225}{18} = 12.5$ (不適)

$k = 18$ のとき、$n = \frac{450 - 324}{18} = \frac{126}{18} = 7$

$k = 21$ のとき、$n = \frac{450 - 441}{18} = \frac{9}{18} = 0.5$ (不適)

$n$ が自然数となるのは、$n = 25, 23, 17, 7$ の4つの場合である。

これらのうち最小の $n$ は7である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{450-18n}$が自然数となるような$n$は全部で 4 個あり、そのうち最小の $n$ は 7 である。