循環小数 $0.3\dot{1}\dot{2}$ から循環小数 $0.1\dot{3}2\dot{4}$ を引いた値を求めます。

1. 問題の内容

循環小数 $0.3\dot{1}\dot{2}$ から循環小数 $0.1\dot{3}2\dot{4}$ を引いた値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの循環小数を分数で表します。

$0.3\dot{1}\dot{2} = 0.3 + 0.0\dot{1}\dot{2}$ と分解できます。

$0.0\dot{1}\dot{2}$ を分数で表します。

$x = 0.0\dot{1}\dot{2}$ と置くと、$100x = 1.21212...$ となります。

$100x = 1.2 + 0.0121212... = 1.2 + x$ より、$99x = 1.2$ となります。

したがって、$x = \frac{1.2}{99} = \frac{12}{990} = \frac{2}{165}$ となります。

したがって、 $0.3\dot{1}\dot{2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{165} = \frac{3 \times 33}{10 \times 33} + \frac{2 \times 2}{165 \times 2} = \frac{99}{330} + \frac{4}{330} = \frac{103}{330}$ となります。

次に $0.1\dot{3}2\dot{4}$ を分数で表します。

$y = 0.1\dot{3}2\dot{4}$ と置くと、$10y = 1.\dot{3}2\dot{4}$ となります。

$1000y = 132.4324324...$ となります。

$1000y = 132 + 0.432432... = 132 + 0.4 + 0.0324324...$

ここで、$z = 0.\dot{3}2\dot{4}$ と置くと、$1000z = 324.\dot{3}2\dot{4}$ となります。

$1000z = 324 + z$ より、$999z = 324$ となり、$z = \frac{324}{999} = \frac{12}{37}$ となります。

したがって、$10y = 1 + \frac{12}{37} = \frac{37+12}{37} = \frac{49}{37}$

よって、$y = \frac{49}{370}$となります。

したがって、$0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4} = \frac{103}{330} - \frac{49}{370} = \frac{103 \times 37}{330 \times 37} - \frac{49 \times 33}{370 \times 33} = \frac{3811}{12210} - \frac{1617}{12210} = \frac{3811-1617}{12210} = \frac{2194}{12210} = \frac{1097}{6105}$

3. 最終的な答え

$\frac{1097}{6105}$